Answer :
[tex] \small\mathbb{●PLEASE\: MARK\:ME\:AS\:BRAINLIEST●} [/tex]
[tex] \Large\mathbb{DIRECTOR\: GENERAL} [/tex]
જો બહુપદી p(x) = x^2 + 4x + 2a ના શૂન્યો અને -2 હોય, તો અહીં આપેલી માહિતી પ્રમાણે આપણે a ની કિંમત શોધી શકીએ છીએ.
આપણને ખ્યાલ છે કે, બહુપદીના શૂન્યો તેના ગુણકારકોને દર્શાવે છે. આથી,
x^2 + 4x + 2a = (x - α)(x - (-2))
પ્રસારણ કરીને,
x^2 + 4x + 2a = x^2 - (α + (-2))x + (-2α)
= x^2 + (2 - α)x - 2α
ગુણાંકોની સરખામણી કરતાં,
2 - α = 4 (ગુણાંકોના સરવાળાની સરખામણી)
-2α = 2a (સ્થિર પદની સરખામણી)
આ બે સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને આપણે α અને a ની કિંમત શોધી શકીએ છીએ.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી,
α = 2 - 4 = -2
બીજા સમીકરણમાંથી,
a = -α = -(-2) = 2
આથી, a ની કિંમત 2 છે.
તેથી, જો બહુપદી p(x) = x^2 + 4x + 2a ના શૂન્યો -2 અને α હોય, તો a ની કિંમત 2 છે.
અમને આપવામાં આવેલી બહુપદી \( p(x) = x^2 + 4x + 2a \) છે.
**પ્રશ્ન**: આ બહુપદીના **શૂન્યો** \( \alpha \) અને \( \beta \) છે, તો \( \alpha^2 + \beta^2 \) ની કિંમત શોધો.
આ પ્રશ્નના ઉકેલ માટે, આપણે નીચેના બિંદુઓ પર ધ્યાન આપવું પડશે:
1. **શૂન્યોના સમકલનનો ઉપયોગ**:
- જો \( p(x) = x^2 + bx + c \) હોય, અને આ બહુપદીના **શૂન્યો \( \alpha \) અને \( \beta \)** હોય, તો:
- **શૂન્યોની જોગવાઈ** (Sum of the roots): \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)
- **શૂન્યોના ગુણાકાર** (Product of the roots): \( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)
અહીં \( a = 1 \), \( b = 4 \), અને \( c = 2a \) છે.
તેથી:
\[
\alpha + \beta = -\frac{4}{1} = -4
\]
\[
\alpha \beta = \frac{2a}{1} = 2a
\]
2. **અમે \( \alpha^2 + \beta^2 \) શોધવું છે**:
\( \alpha^2 + \beta^2 \) ની ગણતરી માટે, આપણે \( \alpha + \beta \) અને \( \alpha \beta \) નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
\[
\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta
\]
\( \alpha + \beta = -4 \) અને \( \alpha \beta = 2a \) મૂલ્ય ધરાવતી સમીકરણ substituting:
\[
\alpha^2 + \beta^2 = (-4)^2 - 2 \cdot (2a)
\]
\[
\alpha^2 + \beta^2 = 16 - 4a
\]
**ઉત્તર**: \( \alpha^2 + \beta^2 = 16 - 4a \)
**સરવાળો**: \( \alpha^2 + \beta^2 \) ની કિંમત \( 16 - 4a \) છે.